流体力学

トリチェリの定理|ベルヌーイの定理の応用と水時計の原理

流体力学

 ベルヌーイの定理を使いこなす第一歩としてトリチェリの定理を導出と水時計の原理を解説します。

1. トリチェリの定理とは

 水槽の底面または側面にオリフィスを設けた場合、オリフィスの中心から水面までの高さを\(h\)、水面の硬化速度を\(v_0\)、オリフィスからの流出速度を\(v\)、大気圧を\(p_0\)とすると、ベルヌーイの定理から次の式が得られます。

\[\frac{\displaystyle {v_0}^2}{\displaystyle 2g}+\frac{\displaystyle p_0}{\displaystyle \rho g}+h=\frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle 2g}+\frac{\displaystyle p_0}{\displaystyle \rho g}\]
したがって
\[v=\sqrt{2g \left( h+\frac{\displaystyle {v_0}^2}{\displaystyle 2g} \right)} \approx \sqrt{2gh} ・・・(1) \]
実際には多少のエネルギ損失(粘性損失など)が起こるため、上記の値に速度係数\(c_v\)をかけて
\[v=c_v\sqrt{2gh} ・・・(2)\]
となります。一般的に\(c_v\)は\(0.93~0.98\)です。

噴流の速度は\(h\)の高さから物体が自然落下したときに得る速度に等しく、これをトリチェリの定理をいいます。

2. 流量の求め方

 オリフィスの面積\(a\)に比べて噴流の断面積\(a_c\)は小さくなります。収縮係数\(c_c(=a_c/a)\)は\(0.61~0.66\)であり、理論的には
\[c_c=\frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle \pi+2}=0.611\]
が求められています。

 オリフィスの流量は
\[Q=a_c v=ca\sqrt{2gh} ・・・(3)\]
となります。ここで、\(c=c_c c_v\)であり流量係数といいます。流量係数については次の式がよく用いられます。
\[c=0.592+0.00069\left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle d\sqrt{h}} \right)^{3/4} ・・・(4)\]
ここで\(d\)はオリフィスの直径で、適用範囲は\(d \geq 0.01m, \, d\sqrt{h} \geq 0.0025m^{3/2}\)です。

3. 水時計の原理

 水槽内の水がオリフィス(断面積\(a\))を通って流出するのに要する時間を考えます。微小時間\(dt\)の間に水面が\(-dh\)だけ下がったとすると、次の連続の式が成立します。
\[-Adh=ca\sqrt{2gh}dt\]
したがって
\[dt=-\frac{\displaystyle A}{\displaystyle ca}\frac{\displaystyle dh}{\displaystyle \sqrt{2gh}}\]
上式を積分して、\(h\)が\(h_1\)から\(h_2\)まで下がるのに要する時間を求めると
\[t=-\frac{\displaystyle A}{\displaystyle ca\sqrt{2g}}\int_{h_1}^{h_2}\frac{\displaystyle dh}{\displaystyle \sqrt{h}}=\frac{\displaystyle 2A}{\displaystyle ca\sqrt{2g}}\left( \sqrt{h_1}-\sqrt{h_2} \right) ・・・(5)\]
となります。水面が下がる速度\(v_0\)は
\[v_0=-\frac{\displaystyle dh}{\displaystyle dt}=\frac{\displaystyle ca\sqrt{2gh}}{\displaystyle A}\]
となります。

\(A\propto \sqrt{h}\)であれば\(v_0\)は常に一定となります。これが水時計の原理です。

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