流体｜対数則に基づく摩擦係数の導出

対数則（対数分布則）で求めた次の式(1)を基に摩擦係数を導出します。
\[\frac{\displaystyle u(y)}{\displaystyle U_{\tau}}= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa}ln \frac{\displaystyle U_{\tau}y}{\displaystyle \nu} +A_s　　・・・(1)\]

1. カルマンの速度欠損則の導出

ここで管中心（\(y=a\)）で流速が最大（\(U_{max}\)）をとる事から
\[\frac{\displaystyle U_{max}}{\displaystyle U_{\tau}}= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa}ln \frac{\displaystyle U_{\tau}a}{\displaystyle \nu} +A_s　　・・・(2)\]
(1)式から(2)式を引くと
\[\frac{\displaystyle U_{max}-u_(y)}{\displaystyle U_{\tau}}= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa}ln \frac{\displaystyle y}{\displaystyle a}　　・・・(3)\]
となります。

2. 摩擦係数の摩擦速度\(U_{\tau}\)での表現

ダルシー・ワイスバッハの摩擦損失式より
\[
f=-\frac{\displaystyle \mathrm{d}p}{\displaystyle \mathrm{d}x}/\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle d}\left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\rho U_0^2 \right)　　・・・(4)
\]
ここで\(\mathrm{d}p/\mathrm{d}x\)の代わりに\(\tau_0\)（「円管路の摩擦抵抗」の式(2)）を用いると
\[
f=8\frac{\displaystyle \tau_0}{\displaystyle \rho U_0^2}=8\left( \frac{\displaystyle U_{\tau}}{\displaystyle U_0} \right)^2　　・・・(5)
\]
よって
\[
\sqrt{\frac{\displaystyle f }{\displaystyle 8}}=\frac{\displaystyle U_{\tau}}{\displaystyle U_0}
　　・・・(6)\]

3. 断面平均流速の導出

断面平均流速\(U_0\)を流速分布から求めるために式(3)の両辺に\(2\pi (a-y)\mathrm{d}y\)を掛けて、管全体（管壁(\(y=0\))～管中心(\((y=a)\))）で積分をすると
\[
\frac{\displaystyle\pi a^2(U_{max}-U_0 }{\displaystyle U_{\tau}} =
\frac{\displaystyle 2\pi}{\displaystyle \kappa}\int_0^a \left(\ln \frac{\displaystyle a}{\displaystyle y}\right)(a-y) dy　　・・・(7)
\]
ここで、\(y/a=\xi\)と置いて置換積分の公式を用いると式(4)の右辺は
\[\begin{eqnarray} &=&
\frac{\displaystyle 2\pi a^2}{\displaystyle \kappa}\int_0^1 \left( 1-\xi \right)\ln \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \xi} d\xi \\
&=& 3.75\pi a^2　　・・・(8)
\end{eqnarray}\]
したがって
\[U_0=U_{max}-3.75U_{\tau}　　・・・(9)\]
ここで、実験結果による補正が加わり
\[U_0=U_max-4.07U_{\tau}　　・・・(10)\]
上式に式(2)を代入すると
\[
\frac{\displaystyle U_0}{\displaystyle U_{\tau}} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa}\ln \frac{\displaystyle U_{\tau}a}{\displaystyle \nu}+(A_s-B)　　・・・(11)
\]
ここで、上式の右辺の\( U_{\tau}a/\nu\)を式(6)も用いて変形すると
\[\begin{eqnarray}
U_{\tau}a/\nu
&=&(U_{\tau}/2U_0)(U_0 d/\nu)\\
&=&( \sqrt{f}/4 \sqrt{2}) Re・・・(12)
\end{eqnarray}\]
上式を式(11)に代入すると
\[
\sqrt{\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle f}}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa} \ln(Re\sqrt{f})+(A_s-B)-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa} \ln(4\sqrt{2})　　・・・(13)
\]
上式を変形し、実験による補正を行うと次の摩擦係数式が得られます。
\[
\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{f}}=2.0 \log_{10}\left( \frac{\displaystyle U_0 d}{\displaystyle \nu} \sqrt{f} \right)-0.8　　・・・(14)
\]