流体力学

流体の変形運動|伸び、ずり変形、回転速度(渦度)

流体力学

 流体とは連続体でありますが自由に変形するものです。基本要素に分解して解説、定式化します。

1. 流体変形の種類

 流体は自由に変形しながら運動できます。これらの変形は次のように分類できます。

(1)伸縮

 例えば、縮小管や拡大管などの流れに当てはまります。連続の条件より、縮小管では立方体の流体塊は流れ方向に引き伸ばされ、拡大管では縮められます。

(2)ずり

 単純せん断流、クエット流などが当てはまります。平行四辺形の面積は変わりません。

(3)回転

 せん断流中ではずり変形とともに起こる変形です。

2. 二次元の流体運動時の定式化

 流体粒子の速度を、
\[\begin{eqnarray}&&u(x,y,t)\\
&&v(x,y,t)
\end{eqnarray}\]
として、点\(A(x_0,y_0)\)のまわりでテイラー展開すると、次式の様になります。
\[
u=u_0+\left(\frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial x}\right)_0 \delta x+\left(\frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial y}\right)_0 \delta y+O(\delta ^2)
\]
添え字\(0\)は点\(A\)での値を意味し、\(O(\delta ^2)\)は2次以上の微小項です。
速度差\(u-u_0, v-v_0\)をぞれぞれ\(\delta u, \delta v\)とすると、
\[\begin{cases}
&&\delta u = u-u_0=\left( \frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial x} \right)_0\delta x + \left( \frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial y} \right)_0\delta y + O(\delta ^2)\\

&&\delta v = v-v_0=\left( \frac{\displaystyle \partial v}{\displaystyle \partial x} \right)_0\delta x + \left( \frac{\displaystyle \partial v}{\displaystyle \partial y} \right)_0\delta y + O(\delta ^2)
\end{cases}・・・(1)\]
このうち、\(\partial u/\partial x\)および\(\partial v/\partial y\)は、それぞれ\(x\)方向、\(y\)方向の辺の伸び速度\(\epsilon_x,\epsilon_y\)を示します。
\[\begin{eqnarray}
&&\epsilon_x = \frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial x} \\
&&\epsilon_y = \frac{\displaystyle \partial v}{\displaystyle \partial y}
\end{eqnarray}・・・(2)\]

一方、\(\partial u/\partial y\)や\(\partial v/\partial x\)は、ずり変形や回転変形に対応しています。例えば、
\[
\gamma_{xy} = \frac{\displaystyle \partial v}{\displaystyle \partial x}+\frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial y}・・・(3)
\]
は\(x,y\)面内のずり変形速度\(\gamma_{xy}\)を表し、
\[
\Omega= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \left(\frac{\displaystyle \partial v}{\displaystyle \partial x}-\frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial y}\right)
・・・(4)\]
は反時計まわりの回転の角速度を表します。

式(1)の2次以上の微小項\(O(\delta^2)\)を省略し、式(2)~(4)を用いて書き換えると
\[\begin{eqnarray}
u&=&u_0+ \frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial x}\delta x+\frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial y}\delta y \\
&=&u_0+\frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial x}\delta x+
\left(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\frac{\displaystyle \partial v}{\displaystyle \partial x}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial y}-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\frac{\displaystyle \partial v}{\displaystyle \partial x} +\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial y} \right)\delta y
\end{eqnarray}\]
すなわち、
\[\begin{cases}
u &=& u_0+\epsilon_x\delta x+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \gamma_{xy} \delta y – \Omega \delta y \\
v &=& v_0+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \gamma_{xy} \delta x + \epsilon_y\delta y + \Omega \delta x
\end{cases} ・・・(5)\]

3. 三次元の流体運動時の定式化

 三次元に拡張すると、伸び速度\(\epsilon\)、ずり変形速度\(\gamma\)、回転角速度\(\omega\)はそれぞれ次のように表すことができます。

\[
\epsilon =
\begin{pmatrix} \epsilon_x \\ \epsilon_y \\ \epsilon_z \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial x} \\ \frac{\displaystyle \partial v}{\displaystyle \partial y} \\ \frac{\displaystyle \partial w}{\displaystyle \partial z} \end{pmatrix}
  ・・・(6)\]
\[
\gamma =
\begin{pmatrix} \gamma_{yz} \\ \gamma_{zx} \\ \gamma_{xy} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \gamma_{zy} \\ \gamma_{xz} \\ \gamma_{yx} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \frac{\displaystyle \partial w}{\displaystyle \partial y} +\frac{\displaystyle \partial v}{\displaystyle \partial z}
\\
\frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial z}+\frac{\displaystyle \partial w}{\displaystyle \partial x}
\\
\frac{\displaystyle \partial v}{\displaystyle \partial x}+\frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial y}
\end{pmatrix}
 ・・・(7)\]
ここで、\(\gamma_{yz}\)は\(x\)軸に垂直な\(yz\)平面のずり変形、\(\gamma_{zx}\)は\(y\)軸に垂直な\(xy\)平面内のずり変形です。

\[
\omega = \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \\ \zeta \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} \frac{\displaystyle \partial w}{\displaystyle \partial y} -\frac{\displaystyle \partial v}{\displaystyle \partial z}
\\
\frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial z}-\frac{\displaystyle \partial w}{\displaystyle \partial x}
\\
\frac{\displaystyle \partial v}{\displaystyle \partial x}-\frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial y}
\end{pmatrix} ・・・(8)
\]
上式のベクトル\(\omega\)を渦度(vorticity)といい、\(\xi\)は\(x\)軸とする回転、\(\eta\)は\(y\)軸を軸とする回転、\(\zeta\)は\(z\)軸を軸とする回転です。
回転ベクトル\(\Omega\)は渦度\(\omega\)の1/2です。
\[\Omega=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\omega\]
このとき、流体塊の変形速度を表すと、
\[\begin{cases}
du &=& \epsilon_x dx + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\gamma_{yx} dy +\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\gamma_{zx}dz+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\eta dz-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\zeta dy \\
dv &=& \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\gamma_{xy}dx+\epsilon_y dy +\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\gamma_{zy}dz+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\zeta dx-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\xi dz \\
dw &=& \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\gamma_{xz}dx+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\gamma_{yz}dy+\epsilon_z dz +\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\xi dy-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\eta dx
\end{cases}  ・・・(9)\]
行列を用いて表すと
\[
\begin{pmatrix}du \\ dv \\ dw \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \epsilon & \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\gamma_{yx} & \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\gamma_{zx} \\
\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\gamma_{xy} & \epsilon_y & \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\gamma_{zy} \\
\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\gamma_{xz} & \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\gamma_{yz} & \epsilon_z
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}

+\begin{pmatrix} 0 & -\frac{\displaystyle \zeta}{\displaystyle 2} & \frac{\displaystyle \eta}{\displaystyle 2} \\
\frac{\displaystyle \zeta}{\displaystyle 2} & 0 & -\frac{\displaystyle \xi}{\displaystyle 2}\\
-\frac{\displaystyle \eta}{\displaystyle 2} & \frac{\displaystyle \xi}{\displaystyle 2} & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}  ・・・(10)
\]

以上の様に、流体の運動は右辺第一項の伸縮・せん断変形と第二項の回転(渦)運動の和として表す事ができます。

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