自然対流を支配する無次元パラメータを明らかにするために、運動量式およびエネルギー式を代表長さ、速度および温度差を用いて無次元化してみます。
運動量式
\[
\rho\left( u\frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial x}+v\frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial y} \right) = \rho g \beta (T-T_0)+\mu \frac{\displaystyle \partial^2 u}{\displaystyle \partial y^2} ・・・（1）
\]
エネルギー式
\[
\rho C_p \left( u\frac{\displaystyle \partial T}{\displaystyle \partial x}+v\frac{\displaystyle \partial T}{\displaystyle \partial y} \right)=\lambda \frac{\displaystyle \partial^2 T}{\displaystyle \partial y^2} ・・・（2）
\]
各式の導出は以下の関連記事をご覧ください。
1. 等温加熱の場合の無次元化
代表長さ：\(L\)（平板高さ）
代表速度：\(u_0=\frac{\displaystyle \alpha}{\displaystyle L}\)
代表温度差：\(T_w-T_0\)
ここで、\(\alpha\)は流体の温度伝導率、自然対流の場合には強制対流の主流速度\(u_{\infty}\)のような明確な代表速度は存在しないことに注意してください。
これらの代表値を使って式(1)、式(2)の速度\(u,v\)および\((T-T_0)\)を無次元化します。すなわち、
\[
u^+=\frac{\displaystyle u}{\displaystyle u_0}, v^+=\frac{\displaystyle v}{\displaystyle u_0}, x^+=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle L}, y^+=\frac{\displaystyle y}{\displaystyle L}, \theta=\frac{\displaystyle T-T_{\infty}}{\displaystyle T_w-T_{\infty}}
\]
とおくと運動量式（式(1)）は
\[
u^+\frac{\displaystyle \partial u^+}{\displaystyle \partial x^+}+v^+ \frac{\displaystyle \partial u^+}{\displaystyle \partial y^+}=Gr\cdot Pr^2\cdot \theta + Pr\frac{\displaystyle \partial^2 u^+}{\displaystyle \partial y^{+^2}} ・・・（3）
\]
またエネルギー式（式(2)）は
\[
u^+\frac{\displaystyle \partial \theta}{\displaystyle \partial x^{+^2}}+v^+\frac{\displaystyle \partial \theta}{\displaystyle \partial y^{+^2}}=\frac{\displaystyle \partial^2 \theta}{\displaystyle \partial y^{+^2}} ・・・（4）
\]
と無次元化できます。ここで上式中の\(Gr\)および\(Pr\)は、それぞれ次のように定義されています。
\[
Gr=\frac{\displaystyle g\beta L^3 (Tw-T_{\infty})}{\displaystyle \nu^2}：グラスホフ数（＝浮力/粘性力）
\]
\[
Pr=\frac{\displaystyle \nu}{\displaystyle \alpha}：プラントル数
\]
これより自然対流の流動と熱伝達を支配する無次元パラメータは、グラスホフ数とプラントル数であることがわかります。
2. 等熱流束の場合の無次元化
1.等温加熱の場合の代表温度差\((T_w-T_{\infty})\)の代わりに、\(q_w L/\lambda\)をとります。ここで、\(q_w\)は壁面熱流束、\(\lambda\)は流体の熱伝導率です。すると、運動量式（式(1)）、エネルギー式（式(2)）はそれぞれ次のように表されます。
\[
u^+\frac{\displaystyle \partial u^+}{\displaystyle \partial x^+}+v^+\frac{\displaystyle \partial u^+}{\displaystyle \partial y^+}=Gr^{\ast} Pr^2\theta+Pr\frac{\displaystyle \partial^2 u^+}{\displaystyle \partial y^{+^2}} ・・・（5）
\]
\[
u^+\frac{\displaystyle \partial \theta}{\displaystyle \partial x^+}+v^+\frac{\displaystyle \partial \theta}{\displaystyle \partial y^+}=\frac{\displaystyle \partial^2 \theta}{\displaystyle \partial y^{+^2}} ・・・（6）
\]
ここで、上式(5)中の無次元数\(Gr^{\ast}\)は、
\(
Gr^{\ast}=\frac{\displaystyle g\beta q_w L^4}{\displaystyle \lambda \nu^2}
\)
であり、修正グラスホフ数（Modified Grashof Number）と呼ばれています。
3. まとめ
このように自然対流では、壁面の加熱方法により、流動と伝熱を支配する無次元パラメータが異なることに注意が必要です。また、多くの場合\(Gr\)や\(Gr^{\ast}\)よりも、それらとプラントル数とを掛けた値、すなわち、
\(
Ra=Gr\cdot Pr：レイリー数 \\
Ra^{\ast}=Gr^{\ast}\cdot Pr：修正レイリー数
\)
の方が一般的によく使われています。
