垂直な加熱平板に沿う自然対流は、平板の前縁付近では層流となるが、下流に行くと乱流へ遷移します。この遷移の条件は最近の研究によればグラスホフ数によって決定され、例えば等温壁の場合
\(Gr_{xtr}=\frac{\displaystyle g \beta (T_w-T_{\infty}) x_{tr}}{\displaystyle \nu^2}=2\times 10^9\)
で与えられます。グラスホフ数がこれ以上であれば乱流となります。本稿では、この乱流域の流動、伝熱について論じます。
1. 乱流自然対流の基礎式
定常２次元の乱流自然対流の輸送方程式は以下のように表せます。
運動量式
\(
\rho \left( \overline{u} \frac{\displaystyle \partial \overline{u}}{\displaystyle \partial x}+\overline{v} \frac{\displaystyle \partial \overline{u}}{\displaystyle \partial y} \right)
=\rho g \beta (T-T_{\infty})+\frac{\displaystyle \partial }{\displaystyle \partial y}\left( -\rho \overline{u’v’}+\mu \frac{\displaystyle \partial \overline{u}}{\displaystyle \partial y} \right) ・・・（1）\)
エネルギー式
\(
\rho C_p \left( \overline{u}\frac{\displaystyle \partial T}{\displaystyle \partial x}+\overline{v}\frac{\displaystyle \partial T}{\displaystyle \partial y} \right)=\frac{\displaystyle \partial }{\displaystyle \partial y}\left( \lambda \frac{\displaystyle \partial T}{\displaystyle \partial y}-\rho C_p \overline{v’t’} \right)
・・・（2）\)
乱流運動エネルギー式
\(
\rho \left( \overline{u} \right)
\)
2. 乱流自然対流の局所ヌセルト数
乱流自然対流の局所ヌセルト数については測定が幾つか行われており、空気および水に対する代表的な実験整理式を以下に掲げます。
空気
等温壁
実験式：\(Nu_x = 0.0245 Ra_x^{2/5} ・・・（1） \)
適用範囲：\(2.3\times 10^{10} < Ra_x < 1.3 \times 1.3 \times 10^{11}\)
等熱流束壁
実験式：\( Nu_x = 0.104 Ra_x^{0.272} \)
適用範囲：1.5 \times 10^{13} < Ra_x < 1.7 \times 10^{14}
水
等温壁
実験式：\(Nu_x = 0.215 \left( \nu_{\infty}/\nu_w \right)^{0.17}Ra_x^{\ast 1/4}\)
適用範囲：10^{13} < Ra_x^{\ast} < 2 \times 10^{15}
等熱流束壁
実験式：\(Nu_x = 0.568 \left( \nu_{\infty}/\nu_w \right)^{0.17}Ra_x^{\ast 0.22}\)
適用範囲：1.5 \times 10^{13} < Ra_x^{\ast} < 6 \times 10^{15}
なお、上式中の添字\(w\)および\(\infty\)は、壁および周囲流体温度における値を示します。
