伝熱工学

伝熱|層流自然対流の局所ヌセルト数の導出

伝熱工学

 一般に自然対流の局所ヌセルト数\(Nu_x=(=\frac{h\cdot x}{\lambda})\)は、つぎのようにレイリー数\(Ra_x\)または修正レイリー数\(Ra_x ^\ast\)の関数として表されます。

 等温壁の局所ヌセルト数:\(Nu_x =C\cdot Ra_x ^n ・・・(1)\)

 等熱流束壁の局所ヌセルト数:\(Nu_x =C\cdot Ra_x ^{\ast n} ・・・(2)\)

とくに、垂直な加熱平板に沿う層流自然対流の局所ヌセルト数は、それぞれ次のようになります。

 等温壁の場合:\(Nu_x=C_1 \cdot Ra_x^{1/4} ・・・(3)\)
  ここで、\(C_1 = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}\left[ \frac{\displaystyle Pr}{\displaystyle 2.4+4.9 \sqrt(Pr) +5 Pr} \right]^{1/4} ・・・(4) \)

 等熱流束の場合:\(Nu_x=C_2 \cdot Ra_x^{\ast 1/5} ・・・(5)\)
  ここで、\(C_2 = \left[ \frac{\displaystyle Pr}{\displaystyle 4+9 \sqrt(Pr) +10 Pr} \right]^{1/5} ・・・(6) \)

 任意の位置\(x\)における等熱流束壁の修正グラスホフ数を\(Grx^{\ast}\)とすると、つぎの関係が成立します。

\(
 Gr_x^{\ast}=\frac{\displaystyle g\beta q_w x^4}{\displaystyle \lambda \nu^2}=\frac{\displaystyle g \beta x^3(T_w – T_{\infty})}{\displaystyle \nu^2} \times \frac{\displaystyle q_w x}{\displaystyle \lambda (T_w – T_{\infty})=Gr_x \cdot Nu_x} ・・・(7)
\)

この関係式を式(1)に代入すると、

\(
 Nu_x = C_1 Pr^m Gr_x^m = C_1 Pr^m \left( \frac{\displaystyle Gr_x^{\ast}}{\displaystyle Nu_x} \right)^m
\)

これより、

\(
 Nu_x = C_1^{1/(1+m)}(Gr_x^{\ast} Pr)^{m/(1+m)} = C^{1/1+m} Ra_x^{m/(1+m)} ・・・(8)
\)

式(2)と式(8)を比較すると、つぎの関係式を得ます。

\(
 C_2 = C_1^{1/(1+m)}、 n=m/(1+m) ・・・(9)
\)

この関係を利用すれば、等熱流束壁もしくは等温壁のどちらかの局所ヌセルト数がわかっていれば、他方の局所ヌセルト数は容易に求められることがわかります。

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