理想的な斜方投射と違って現実では空気の粘性抵抗により速度が低下して綺麗な放物線を描きません。この時の運動方程式を導出します。
次の記事で紹介した斜方投射は重力\(mg\)のみを考慮していました。
今回は粘性抵抗を導入します。粘性抵抗をF\(=-b\)v≒\(-mA\)vとすると、鉛直落下方向を\(-y\)とした運動方程式は次のようになります。
\[
\frac{\displaystyle d^2y}{\displaystyle dt^2 }=\frac{\displaystyle dv_y}{\displaystyle dt}=-g+Av_x ・・・(1)\\
\frac{\displaystyle d^2x}{\displaystyle dt^2}=\frac{\displaystyle dv_x}{\displaystyle dt}=-Ax_y ・・・(2)
\]
式(1)を変形すると
\[
\frac{\displaystyle dv_y}{\displaystyle dt}-Av_y=-g ・・・(3)
\]
式(3)を一階線形微分方程式の解法（同次方程式を活用）して得られる解は次のようになります（導出の過程は割愛）
\[
v_x=Ce^{At}-\frac{\displaystyle g}{\displaystyle A} ・・・(4)
\]
ここで、時間\(t=0\)の速度\(v_{0y}\)を初速として置くと式(1)の解は次の様になります。
\[
v_y=\left( v_{0y}+\frac{\displaystyle g}{\displaystyle A} \right)e^{At}-\frac{\displaystyle g}{\displaystyle A} ・・・(5)\\
v_x=v_{0x}e^{-At} ・・・(6)
\]