流体|粘性底層の厚さと領域区分:乱流域、バッファー域、粘性低層 | Vis-Tech
流体力学

流体|粘性底層の厚さと領域区分:乱流域、バッファー域、粘性低層

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先回の記事で次の対数分布則を導出しました。今回は、普遍定数の意味や、粘性低層の厚さと領域区分について解説します。

\[\frac{\displaystyle u(y)}{\displaystyle U_{\tau}}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa}ln \frac{\displaystyle U_{\tau}y}{\displaystyle \nu}+A_s  ・・・(1)\]

1. 滑面管路の普遍定数

 壁面の近くは、粘性低層(viscous sublayer)と呼ばれて、対数分布則が成立しません。これは粘性の作用が支配的なためです。粘性低層内では、レイノルズ応力項は無視できることから、次の様に表現できます。
 剪断力分布:\( \tau≒\tau_0=\mu\frac{\displaystyle \mathrm{d}u}{\displaystyle \mathrm{d}y} -\rho\overline{u’v’}\)
 レイノルズ応力:\(-\rho\overline{u’v’}=0\)
したがって
\[ \tau≒\tau_0=\mu\frac{\displaystyle \mathrm{d}u}{\displaystyle \mathrm{d}y}  ・・・(2) \]
の関係が成立します。ここで、摩擦速度の式\(U_{\tau}=\sqrt{\tau_0/\rho}\)を上式に代入すると次に式になります。
\[\rho U_{\tau}^2=\mu\frac{\displaystyle \mathrm{d}u}{\displaystyle \mathrm{d}y}  ・・・(3)\]
これを積分すると次の式が得られます。

\[\frac{\displaystyle u(y)}{\displaystyle U_{\tau}}=\frac{\displaystyle U_{\tau}y}{\displaystyle \nu}  ・・・(4)\]
粘性低層内の流速分布は直線分布で表現できました。粘性低層の外縁(\(y=\delta_s\))で対数分布則(\(\frac{u(y)}{U_{\tau}}=\frac{1}{\kappa}ln\frac{U_{\tau}y}{\nu}+A_s\))と繋げるため(両式の右辺が等しい)
\[ \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa}ln\frac{\displaystyle U_{\tau}y}{\displaystyle \nu}+A_s= \frac{U_{\tau}\delta_s}{\nu}   ・・・(5)\]
上式より普遍定数Asは
\[ \begin{eqnarray}A_s &=&
\frac{U_{\tau}\delta_s}{\nu}-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa}ln\frac{\displaystyle U_{\tau}y}{\displaystyle \nu}
\\
&=&Re_s-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa}ln Re_s
\end{eqnarray}  ・・・(6)\]
となります。ここで\(A_s=5.5\)(滑面の実験定数)とすれば次のようになります。
\[Re_s=\frac{\displaystyle U_{\tau}\delta_s}{\nu}=11.6  ・・・(7)\]

 かつ管路の対数分布を求めたいと思います。普遍定数\(A_s=5.5\)とカルマン定数\(\kappa=0.4\)導入を対数分布則に導入し、自然対数を常用対数に置き換えると(\((l/\kappa)log_e10=2.30/0.4=5.75\))
\[ \frac{\displaystyle u(y)}{U_{\tau}}=5.75log_{10}\frac{U_{\tau}y}{\nu}+5.5  ・・・(8)\]

2. 流速分布の領域区分

管内流れの流速分布は次の3つの領域に分類されています。

\[\begin{eqnarray}
粘性低層&:&0<\frac{\displaystyle U_{\tau}y}{\displaystyle \nu}<4\\
バッファー域&:&4<\frac{\displaystyle U_{\tau}y}{\displaystyle \nu}<30~70\\
乱流域&:&30~100<\frac{\displaystyle U_{\tau}y}{\displaystyle \nu}
\end{eqnarray}\]

 1.までに導かれた管路乱流の流速分布式を実験結果と比較したものを上図に示します。対数分布式と粘性低層での式の中間の領域では、流速分布は層流則から乱流対数則に遷移しています。この中間層では粘性も乱流による混合も同程度に作用し、バッファー域と呼ばれています。

以上で二次元的な流れを想像でき、壁面近傍も含めた流れを理解できたと思います。次回は、摩擦抵抗の予測によく使われる一次元で簡易的に表現したダルシー・ワイズバッハ(Darcy-Weisbach)の摩擦損失式を解説したいと思います。

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