流体力学

流体|プラントルの壁法則に基づいた対数分布則の導出

流体力学

 流体に関わる設計者であれば摩擦圧力損失の抑制が課題の一つだと思います。圧力損失をイメージするうえで大切な流れの発達について解説し、CFD解析でよく使われる対数分布則の導出をしたいと思います。

1. 菅の流入部の流れと十分に発達した流れ

 図に示すような大きな空間から真直な一様断面の管路に流れ込む流れの流速分布と圧力損失を取り扱います。

管の入口では、流れは一様流速分布となっています。しかし、流下するにつれて粘性により管壁面から境界層が発達します。このため管路の実効断面積が徐々に減少し、断面内の質量保存(連続の式)を満たすように中心部の流速は加速されます。管路入口からある距離\(l_E\)の所で周囲の壁面から発達した境界層は互いに交わり、それより下流では管路全体に粘性の作用の及んだ十分に発達した流れが続きます。壁面からの境界層が層流のままで発達を続けるのであれば\(l_E/d=0.065Re\)となります。しかし、多くの場合は境界層厚さの増加につれてレイノルズ数Reが限界値に達し、乱流境界層へと遷移します。乱流境界層内では流体の激しい混合運動のため、境界層の発達の仕方は早められ、\(l_E=50~100d\)と短くなります。

2. 壁法則と速度欠損

 壁面近くの流れは、そこで重要な役割をする物理量(密度\(\rho\)、同粘性係数\(\nu\)、壁面摩擦応力\(\tau_0\)、壁からの距離\(y\))により支配され、管全体にかかわる量(レイノルズ数\(Re\))には無関係であると推論されます。ここで、\(\tau_0\)と\(\rho\)から作られます。
\[U_{\tau}=\sqrt{\tau_0/\rho}  ・・・(1)\]
は速度の次元をもち、速度の代表スケールとしてみなすことができます。これを摩擦速度(friction velocity)と呼びます。したがって、これらの支配量から作られる無次元長さを
\[\eta=\frac{\displaystyle U_{\tau}y}{\displaystyle \nu}  ・・・(2)\]
で定義すれば、壁面近くの速度分布はレイノルズ数に無関係に
\[ \frac{\displaystyle \overline{u}(y)}{\displaystyle U_{\tau}} =f_n\left(\frac{\displaystyle U_{\tau}y}{\displaystyle\nu}\right)  ・・・(3)\]
の形にできます。これをプラントルの壁法則(law of wall)といいます。

 これに反して、管の中央部での流れは、管壁での摩擦応力の発生機構など局部的なものとは無関係で、流れの場の全体的な量(\(a(=d/2)\)、\(U_{max}\)あるいは\(\tau_0\)、\(\rho\))によって決まります。したがって、これらより次の無次元的な流速分布
\[ \frac{\displaystyle U_{max}-\overline{u}(y)}{\displaystyle U_{\tau}} = f_n \left(\frac{\displaystyle y}{\displaystyle a}\right)  ・・・(4)\]
が成立しなければならなくなります。これはカルマンの速度欠損則(velocity defect law)と呼ばれています。

補足

摩擦速度は“速度”が付きますが、実際にはこの値に 相当する流速をもつ流れがあるわけではないこと に留意してください。あくまでも、壁面摩擦応力 を速度で表すための概念です。

\(f_n()\)は関数であることを表現していますので、ざっくりとしたイメージを持っていただければ結構です。具体的な事例は以下で解説していきます。

\(\overline{u}(y)\)の補足:\(\overline{u}\)のオーバーラインは乱れの時間スケールに比べて十分長い時間に関しての平均を表し、\((y)\)は\(\overline{u}\)が壁面からの距離\(y\)に依存する関数であることを表現しています。

3. 混合距離による流速分布

 ここでは、壁法則としてよく使われる以下の対数速度則を導出したいと思います。

 十分に発達した管路の乱流を考えます(流れの方向に一様)。問題を2次元化するために、円形断面のパイプもしくは十分幅広い矩形断面の管路を考えます。平均流速\(u(y)\)に関するレイノルズの方程式(流体の運動方程式)の左辺の項はすべて0に等しく、二次元管路の場合は次の様になります。(以降、\(\overline{u}\)を\(u(y)\)や単に\(u\)と記載します)
レイノルズの方程式
\[\frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial t}+u\frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial x}+v\frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial y}=
-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \rho}\frac{\displaystyle \partial p}{\displaystyle \partial x}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \rho} \left( \frac{\displaystyle \partial \tau_{xx}}{\displaystyle \partial x}+\frac{\displaystyle \partial \tau_{xy}}{\displaystyle \partial y} \right)   ・・・(5)\]
これが次の様になります。
\[ 0= -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \rho}\frac{\displaystyle \partial p}{\displaystyle \partial x}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \rho}\frac{\displaystyle \partial \tau_{xy}}{\displaystyle \partial y}   ・・・(6)\]
したがって、\(-(\partial p/\partial x)+(\partial \tau/\partial y)=0\)となり、これを積分して次の式になります。
\[ \begin{cases}
\tau=(a-y)\left( -\frac{\displaystyle \mathrm{d} p}{\displaystyle \mathrm{d} x}\right)
&(二次元管路ー並行壁間の流れ)
\\
\tau=\frac{\displaystyle (a-y)}{\displaystyle 2}\left( -\frac{\displaystyle \mathrm{d} p}{\displaystyle \mathrm{d} x}\right)
&(円管路)
\end{cases}   ・・・(7)\]
ここで\(a\)は二次元開水路の水深・平行な壁の感覚の半分、管の半径を表します。剪断応力\(\tau\)は分子粘性による応力とレイノルズ応力(乱流による応力)との和です。しかし、分子粘性の作用を考慮しなければならないのは壁面のごく近傍だけで、そこを離れると乱流運動が支配的となり、剪断応力はほとんどレイノルズ応力によるものと考えられます。これを式で表すと次の様になります。
\[\begin{eqnarray}
\tau&=& \mu\frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial y}-\rho \overline{u’v’} \\
&≒& -\rho \overline{u’v’}
\end{eqnarray}  ・・・(8)\]
ここで、プラントルの混合距離理論(別途解説予定)を用いると次のように表現できます。
\[ \tau=\rho l^2 \left|\frac{\displaystyle \mathrm{d}u}{\displaystyle \mathrm{d}y} \right| \frac{\displaystyle \mathrm{d}u}{\displaystyle \mathrm{d}y}  ・・・(9)\]
混合距離\(l\)に関してプラントルは次の様に仮定しました。
\[l=\kappa y  ・・・(10)\]

管路乱流の剪断応力は直線分布(レイノルズ応力を積分してられた式:\(y\)の関数)となりますが、混合距離に関するプラントルの仮定が適用しうる範囲では、むしろ剪断応力\(\tau\)は壁面剪断応力\(\tau_0\)に等しいと考えるべきです。こうした領域をconstant stress layer(一定剪断応力層)と呼びます。結局のところ剪断応力分布は、
\begin{eqnarray} \tau=\tau_0 \begin{cases}
=-\frac{\displaystyle \mathrm{d} p}{\displaystyle \mathrm{d} x}\cdot a&(二次元管路)\\
=-\frac{\displaystyle \mathrm{d} p}{\displaystyle \mathrm{d} x}\cdot \frac{\displaystyle a}{\displaystyle 2}&(円管路)
\end{cases}  ・・・(11)\end{eqnarray}

管内の流速を求めるにはプラントルの混合距離理論の式に上式の\(\tau\)および\(l\)の関係式を代入すればよいです。(\(\tau = \tau_0=const.\)とします)また、\(\mathrm{d} u/\mathrm{d} y\)がこの場合は常に正の値になることから絶対値記号を取り去ると次の式が得られます。(絶対値記号は2乗の形になって方向性が消えるのを避けるためのテクニックです)
\[ \frac{\displaystyle \tau_0}{\displaystyle \rho}=(\kappa y)^2 \left( \frac{\displaystyle \mathrm{d} u}{\displaystyle \mathrm{d} y} \right)^2   ・・・(12)\]
すなわち
\[ \frac{\displaystyle \mathrm{d} u}{\displaystyle \mathrm{d} y} = \frac{\displaystyle U_{\tau}}{\displaystyle \kappa y}   ・・・(13)\]
ここに摩擦速度\(U_{\tau}=\sqrt{\tau_0/\rho}\)を上式に代入して積分すると
\[\frac{\displaystyle u(y)}{\displaystyle U_{\tau}}= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa}ln y +C_1  ・・・(14)\]
ここまでの議論は壁面の粗滑について言及しておらず、上式はいずれの場合も正立します。ここで、プラントルの壁法則(流速分布は\(\rho\)、\(\nu\)、\(\tau_0(U_{\tau})\)、\(y\)により支配される)が成立することを考えます。すると、支配量(\(\nu\)、\(U_{\tau}\)、\(y\)\))で作られる無次元長さに置き換え、新たに普遍定数\(A_s\)(添え字sはsmoothの意味)を導入して次の様に書くことができます。
\[\frac{\displaystyle u(y)}{\displaystyle U_{\tau}}= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa}ln \frac{\displaystyle U_{\tau}y}{\displaystyle \nu} +A_s  ・・・(15)\]
これを対数分布則(log-law)と言います。

CFDをかじったことがある方はこの対数分布則を見たことがあると思います。今日はこの対数分布則の導出までを一旦ゴールとし、実際の粘性低層に対する理解や圧力損失につながる摩擦抵抗については、次回以降で解説したいと思います。

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