流体力学

流体|粘性底層の厚さと領域区分:乱流域、バッファー域、粘性低層

流体力学

先回の記事で次の対数分布則を導出しました。今回は、普遍定数の意味や、粘性低層の厚さと領域区分について解説します。

\[\frac{\displaystyle u(y)}{\displaystyle U_{\tau}}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa}ln \frac{\displaystyle U_{\tau}y}{\displaystyle \nu}+A_s  ・・・(1)\]

1. 滑面管路の普遍定数の意味付け

 壁のごく近傍は、粘性の作用が支配的なので対数分布則は成立しません。この層を粘性低層(viscous sublayer)と言います。粘性低層内では、むしろ、剪断力分布のレイノルズ応力項は省略できることから、次の様に表現できます。
 剪断力分布:\( \tau≒\tau_0=\mu\frac{\displaystyle \mathrm{d}u}{\displaystyle \mathrm{d}y} -\rho\overline{u’v’}\)
 レイノルズ応力:\(-\rho\overline{u’v’}=0\)
したがって
\[ \tau≒\tau_0=\mu\frac{\displaystyle \mathrm{d}u}{\displaystyle \mathrm{d}y}  ・・・(2) \]
の関係が成立します。ここで、摩擦速度の式\(U_{\tau}=\sqrt{\tau_0/\rho}\)を上式に代入すると次に式になります。
\[\rho U_{\tau}^2=\mu\frac{\displaystyle \mathrm{d}u}{\displaystyle \mathrm{d}y}  ・・・(3)\]
これを積分すると次の式が得られます。

\[\frac{\displaystyle u(y)}{\displaystyle U_{\tau}}=\frac{\displaystyle U_{\tau}y}{\displaystyle \nu}  ・・・(4)\]
粘性低層内の流速分布は直線分布で表現できました。粘性低層の外縁(\(y=\delta_s\))で対数分布則(\(\frac{u(y)}{U_{\tau}}=\frac{1}{\kappa}ln\frac{U_{\tau}y}{\nu}+A_s\))と接続しなければならない事から良識の右辺を等しいとおくと
\[ \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa}ln\frac{\displaystyle U_{\tau}y}{\displaystyle \nu}+A_s= \frac{U_{\tau}\delta_s}{\nu}   ・・・(5)\]
これより普遍定数Asは
\[ \begin{eqnarray}A_s &=&
\frac{U_{\tau}\delta_s}{\nu}-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa}ln\frac{\displaystyle U_{\tau}y}{\displaystyle \nu}
\\
&=&Re_s-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa}ln Re_s
\end{eqnarray}  ・・・(6)\]
となります。ここに、レイノルズ数\(Re_s=U_{\tau}\delta_s/\nu\)は粘性低層の流速分布の安定限界に対応する一定のレイノルズ数と考えられ、\(A_s=5.5\)(滑面の実験定数)とすれば次のように定まります。
\[Re_s=\frac{\displaystyle U_{\tau}\delta_s}{\nu}=11.6  ・・・(7)\]
また、普遍定数\(A_s=5.5\)とカルマン定数\(\kappa=0.4\)導入を対数分布則に導入し、さらに自然対数を常用対数に直すと(\((l/\kappa)log_e10=2.30/0.4=5.75\))滑管路の対数流速分布は次の様に与えられます。
\[ \frac{\displaystyle u(y)}{U_{\tau}}=5.75log_{10}\frac{U_{\tau}y}{\nu}+5.5  ・・・(8)\]
これにより、滑面管路の流速分布の定数項を意味付けすることができました。

2. 流速分布の領域区分

 1.までに導かれた管路乱流の流速分布式を実験結果と比較したものを次に示します。

対数分布式と粘性低層での式の中間の領域では、流速分布は\(U_{\tau}y/\nu≒4\)で層流則から離れ、滑らかに乱流対数則にうつっています。
この中間層はバッファー域と呼ばれ、粘性の作用も乱流による混合作用も同程度に働く層です。

したがって、管内の壁面乱流は壁からの無次元距離により、次の様な三つの領域に分類できます。

\[\begin{eqnarray}
粘性低層&:&0<\frac{\displaystyle U_{\tau}y}{\displaystyle \nu}<4\\
バッファー域&:&4<\frac{\displaystyle U_{\tau}y}{\displaystyle \nu}<30~70\\
乱流域&:&30~100<\frac{\displaystyle U_{\tau}y}{\displaystyle \nu}
\end{eqnarray}\]

以上で二次元的な流れを想像でき、壁面近傍も含めた流れを理解できたと思います。次回は、摩擦抵抗の予測によく使われる一次元で簡易的に表現したダルシー・ワイズバッハ(Darcy-Weisbach)の摩擦損失式を解説したいと思います。

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