流体力学

流体|対数則に基づく摩擦係数の導出

流体力学

対数則(対数分布則)で求めた次の式(1)を基に摩擦係数を導出します。
\[\frac{\displaystyle u(y)}{\displaystyle U_{\tau}}= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa}ln \frac{\displaystyle U_{\tau}y}{\displaystyle \nu} +A_s  ・・・(1)\]

1. カルマンの速度欠損則の導出

ここで管中心(\(y=a\))で流速が最大(\(U_{max}\))をとる事から
\[\frac{\displaystyle U_{max}}{\displaystyle U_{\tau}}= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa}ln \frac{\displaystyle U_{\tau}a}{\displaystyle \nu} +A_s  ・・・(2)\]
(1)式から(2)式を引くと
\[\frac{\displaystyle U_{max}-u_(y)}{\displaystyle U_{\tau}}= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa}ln \frac{\displaystyle y}{\displaystyle a}  ・・・(3)\]
となります。

これは対数則(対数分布則)で求めたカルマンの速度欠損則になります。

補足

式(3)を導出する過程で、対数計算の公式 \(\log A-\log B=\log\frac{A}{B}\) を使っています。

2. 摩擦係数の摩擦速度\(U_{\tau}\)での表現

ダルシー・ワイスバッハの摩擦損失式より
\[
f=-\frac{\displaystyle \mathrm{d}p}{\displaystyle \mathrm{d}x}/\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle d}\left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\rho U_0^2 \right)  ・・・(4)
\]
ここで\(\mathrm{d}p/\mathrm{d}x\)の代わりに\(\tau_0\)(「円管路の摩擦抵抗」の式(2))を用いると
\[
f=8\frac{\displaystyle \tau_0}{\displaystyle \rho U_0^2}=8\left( \frac{\displaystyle U_{\tau}}{\displaystyle U_0} \right)^2  ・・・(5)
\]
よって
\[
\sqrt{\frac{\displaystyle f }{\displaystyle 8}}=\frac{\displaystyle U_{\tau}}{\displaystyle U_0}
  ・・・(6)\]

3. 断面平均流速の導出

断面平均流速\(U_0\)を流速分布から求めるために式(3)の両辺に\(2\pi (a-y)\mathrm{d}y\)を掛けて、管全体(管壁(\(y=0\))~管中心(\((y=a)\)))で積分をすると
\[
\frac{\displaystyle\pi a^2(U_{max}-U_0 }{\displaystyle U_{\tau}} =
\frac{\displaystyle 2\pi}{\displaystyle \kappa}\int_0^a \left(\ln \frac{\displaystyle a}{\displaystyle y}\right)(a-y) dy  ・・・(7)
\]
ここで、\(y/a=\xi\)と置いて置換積分の公式を用いると式(4)の右辺は
\[\begin{eqnarray} &=&
\frac{\displaystyle 2\pi a^2}{\displaystyle \kappa}\int_0^1 \left( 1-\xi \right)\ln \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \xi} d\xi \\
&=& 3.75\pi a^2  ・・・(8)
\end{eqnarray}\]
したがって
\[U_0=U_{max}-3.75U_{\tau}  ・・・(9)\]
ここで、実験結果による補正が加わり
\[U_0=U_max-4.07U_{\tau}  ・・・(10)\]
上式に式(2)を代入すると
\[
\frac{\displaystyle U_0}{\displaystyle U_{\tau}} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa}\ln \frac{\displaystyle U_{\tau}a}{\displaystyle \nu}+(A_s-B)  ・・・(11)
\]
ここで、上式の右辺の\( U_{\tau}a/\nu\)を式(6)も用いて変形すると
\[\begin{eqnarray}
U_{\tau}a/\nu
&=&(U_{\tau}/2U_0)(U_0 d/\nu)\\
&=&( \sqrt{f}/4 \sqrt{2}) Re・・・(12)
\end{eqnarray}\]
上式を式(11)に代入すると
\[
\sqrt{\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle f}}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa} \ln(Re\sqrt{f})+(A_s-B)-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \kappa} \ln(4\sqrt{2})  ・・・(13)
\]
上式を変形し、実験による補正を行うと次の摩擦係数式が得られます。
\[
\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{f}}=2.0 \log_{10}\left( \frac{\displaystyle U_0 d}{\displaystyle \nu} \sqrt{f} \right)-0.8  ・・・(14)
\]

今回は、高校数学の「対数公式」や「置換積分の公式」を活用して式変形することで簡単に解くテクニックも登場しました。こういうシーンが登場すると数学を勉強する必要性がようやく見えてきますね。


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