流体力学

流体|円管路の摩擦抵抗式の導出と摩擦係数の関係式

流体力学

 流れが十分に発達した円管内定常流の管壁による摩擦抵抗は、ダルシー・ワイスバッハ(Darcy-Weisbach)の摩擦損失式で与えられます。今回は、この摩擦損失式とそれに使われる抵抗係数について解説します。

1. ダルシー・ワイスバッハの摩擦損失式

 円管断面の管路の摩擦抵抗について考察します。管軸方向に長さ\(L\)、管の中心からの半径距離\(y'(=r-y)\)の流体柱状部に働く力の釣り合いを考えます。次の図をご覧ください。

この柱体部の前後の面に働く圧力差\((p_1-p_2)(\pi y’^2)\)と、側面に働く流体の内部摩擦力\( \tau (2\pi y’L) \)は釣り合っています。したがって、前段応力\(\tau\)の分布はこの両者を等しいと置くと
\[ \tau=\frac{\displaystyle p_1-p_2}{\displaystyle L}\frac{\displaystyle y’}{\displaystyle 2}
=-\frac{\displaystyle (a-y)}{\displaystyle 2}\frac{\displaystyle \mathrm{d}p}{\displaystyle \mathrm{d}x}  ・・・(1) \]
となります。また、壁面摩擦応力\(\tau_0\)は、\(y=0\)とおいて
\[\tau_0=-\frac{\displaystyle a}{\displaystyle 2}\frac{\displaystyle\mathrm{d}p}{\displaystyle\mathrm{d}x}=-\frac{\displaystyle d}{\displaystyle 4}\frac{\displaystyle \mathrm{d}p}{\displaystyle\mathrm{d}x}  ・・・(2)\]
となります。(\(a\):管の半径、\(d\):管の直径)
ここで、剪断応力\(\tau\)は運動エネルギーに比例するファニング考え方を織り込み、ダルシーの摩擦係数に合わせると(ファニングの摩擦係数=ダルシーの摩擦係数×4)
\[ -\frac{\displaystyle \mathrm{d}p}{\displaystyle\mathrm{d}x} =\frac{\displaystyle f}{\displaystyle d}\left( \frac{\displaystyle \rho U_0^2}{\displaystyle 2}\right)  ・・・(3)\]
したがって、図のモデルにしたがって表現すると
\[\frac{\displaystyle p_1-p_2}{\displaystyle L}=\frac{\displaystyle f}{\displaystyle d}\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \rho U_0^2  ・・・(4)\]
これをダルシー・ワイスバッハ(Darcy-Weisbach)の摩擦損失式と言います。

次元による考察からの導出

 圧力損失は管内を流れる流体の運動エネルギー(\( \rho U_0^2/2 \))に比例すると経験的に言われています。しかし、圧力損失の勾配(\( -\mathrm{d}p/\mathrm{d}/x \))の次元は[圧力/長さ]であるのに対し、運動エネルギーの次元は[密度×(速度)2=圧力]です。そのため、これらの間の比例係数は[1/長さ]を持ってしまいます。係数が次元をもつということは、単位系が変わると係数の値も変わるということになりますので、一般性が失われます。そこで、運動エネルギーを長さの次元をもつ量で割る必要があります。現象に関わる長さの次元を持つ量としては、円管の直径が妥当です。

このことは圧力損失が管壁の摩擦によるものであり、したがって円周もしくは管径あたりの運動エネルギーと圧力損失を関係づけるのが妥当と言えます。

したがって、
\[ -\frac{\displaystyle \mathrm{d}p}{\displaystyle\mathrm{d}x} =\frac{\displaystyle f}{\displaystyle d}\left( \frac{\displaystyle \rho U_0^2}{\displaystyle 2}\right)  ・・・(5)\]
と表すことができます。比例係数\(f\)は摩擦損失係数と呼ばれ、レイノルズ数\(Re\)や流れの状態(層流、乱流)や管壁の粗さの関数となります。(\(U_0\)は連続の式から求められる平均流速です)

補足

ファニングの摩擦係数を\(f\)、ダルシー・ワイスバッハの摩擦係数を\(\lambda\)と分けて表現する場合がありますが、本解説では区別しませんでした。留意ください。

2. 管路の粗滑に応じた摩擦抵抗式

 管路における摩擦係数を大別すると次の図の様になります。

 乱流における摩擦係数は次の通りです。式の導出については、それぞれ長くなるので別の記事で解説したいと思います。

(1) 滑管における対数則式

\[ \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{f}}=2.0log_{10}\left(\frac{\displaystyle U_0 d}{\displaystyle \nu}\sqrt{f} \right)-0.8   ・・・(6)\]

 速度欠損則を管全体で積分して得られた式です。定数0.8は実験結果に合うように補正されており、理論値は0.91です。
 上式の導出はこちらにて解説しています。

(2) 粗管における対数則式

\[\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{f}}=-2log_{10}\frac{\displaystyle k_s}{\displaystyle d}+1.14  ・・・(7)\]
\(k_s\):粗度の高さ

 粗いパイプの抵抗係数はパイプ径に対する相対的な粗さ\(k_s/d\)にのみ依存し、レイノルズ数には無関係となります。

(3) 粗管における対数則式(コールブルック・ホワイトの式)

\[\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{f}}+2log\frac{\displaystyle k_s}{\displaystyle d}=1.14-2log\left( 1+9.35\frac{\displaystyle d/k_s}{\displaystyle Re \sqrt{f}} \right)   ・・・(8)\]

 ニクラーゼ(Nikurase)による管路の摩擦抵抗係数の実験結果(上図)をご覧ください。人工的に粗度を与えたパイプの\(f\)はレイノルズ数の増加と共に、層流曲線(\(64/Re\))から滑管乱流への遷移の場合と同じ遷移曲線にしたがって\(f-Re\)曲線状にのり、レイノルズ数に増加により水理学的に滑らかな状態を状態を出るにつれて\(Re\)軸に平行な直線に徐々に移行します。これに反し、図中に破線で示した市販のパイプの場合には、完全粗面の状態の\(f\)値より大きな\(f\)値からレイノルズ数の増加と共にこの状態に漸近しています。これは粗度が均一ではないため、レイノルズ数が小さく粘性低層がそれほど薄くない状態でも粗度要素の一部が低層上に桐出して粗度効果を発揮するためです。このような自然の新井間に対する抵抗は、粗管と滑管の場合の内挿式として、コールブルック・ホワイト(Colebrook-White)により与えられました。

(4) べき乗則(ブラジウスの実験公式)

\[f=0.3164Re^{-1/4}  ・・・(9)\]

 レイノルズ数が\(10^5\)以下の滑管乱流の抵抗に関する実験公式です。これは流速分布の1/7乗則に対応しています。

ブラジウスの実験公式は有名ですので一度は聞かれたことがあるかもしれません。一方で、対数分布則に従った摩擦抵抗係数はあまりなじみがないかもしれませんが、粗い管路を表現するにはこちらしかありません。更に理解を深めるために、摩擦係数式の導出について、次回以降で解説していきたいと思います。

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